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简单的三角恒等变换

2014年12月26日 00:00:00 来源:http://www.llez.net/jxke/ShowArticle.asp?ArticleID=7655 访问量:4

导学目标: 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换.  

  

自主梳理  

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式  

(1)sin 2α________________  

(2)cos 2α______________________________11________________  

(3)tan 2α________________________ (α2()4(π)αkπ2(π))  

2.公式的逆向变换及有关变形  

(1)sin αcos α____________________cos α2sin α(sin 2α)  

(2)降幂公式:sin2α________________cos2α________________  

升幂公式:1cos α________________1cos α_____________  

变形:1±sin 2αsin2αcos2α±2sin αcos α________________________.  

自我检测  

1(2010·陕西)函数f(x)2sin xcos x                                      (  )  

A.最小正周期为的奇函数  

B.最小正周期为的偶函数  

C.最小正周期为π的奇函数  

D.最小正周期为π的偶函数  

2.函数f(x)cos 2x2sin x的最小值和最大值分别为                         (  )  

A.-3,1 B.-2,2  

C.-32(3) D.-22(3)  

3.函数f(x)sin xcos x的最小值是                                         (  )  

A.-1 B.-2(1) C.2(1) D1  

4(2011·清远月考)已知AB为直角三角形的两个锐角,则sin A·sin B           (  )  

A.有最大值2(1),最小值0  

B.有最小值2(1),无最大值  

C.既无最大值也无最小值  

D.有最大值2(1),无最小值  

  

探究点一 三角函数式的化简  

1 求函数y74sin xcos x4cos2x4cos4x的最大值和最小值.  

   

   

   

   

变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f(x)-x(π).  

(1)f12(11π)的值;  

(2)x4(π)时,求g(x)2(1)f(x)sin 2x的最大值和最小值.  

   

   

   

   

探究点二 三角函数式的求值  

2 已知sin(4(π)2α)·sin(4(π)2α)4(1)α(4(π)2(π)),求2sin2αtan αtan α(1)1的值.  

   

   

   

   

变式迁移2 (1)已知α是第一象限角,且cos α13(5),求cos(2α+4π)())的值.  

(2)已知cos(α4(π))5(3)2(π)α<2(),求cos(2α4(π))的值.  

   

   

   

   

探究点三 三角恒等式的证明  

3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2αβ)3sin β,设tan αxtan βy,记yf(x)  

(1)求证:tan(αβ)2tan α  

(2)f(x)的解析表达式;  

(3)若角α是一个三角形的最小内角,试求函数f(x)的值域.  

   

   

   

   

变式迁移3 求证:(sin x+cos x-1)(sin x-cos x+1)(sin 2x)  

sin x(1+cos x).  

   

   

   

   

  

转化与化归思想的应用  

 (12)(2010·江西)已知函数f(x)  

tan x(1)sin2xmsin4(π)sin4(π).  

(1)m0时,求f(x)在区间4()上的取值范围;  

(2)tan α2时,f(α)5(3),求m的值.  

【答题模板】  

解 (1)m0时,f(x)sin x(cos x)sin2x  

sin2xsin xcos x2(1-cos 2x+sin 2x)  

2(1)+1(π)[3]  

由已知x4(),得2x4(π)4()[4]  

所以sin4(π),1(2)[5]  

从而得f(x)的值域为2(2).[6]  

(2)f(x)sin2xsin xcos x2(m)cos 2x  

2(1-cos 2x)2(1)sin 2x2(m)cos 2x  

2(1)[sin 2x(1m)cos 2x]2(1)[8]  

tan α2sin 2αsin2α+cos2α(2sin αcos α)1+tan2α(2tan α)5(4)  

cos 2αcos2α+sin2α(cos2α-sin2α)1+tan2α(1-tan2α)=-5(3).[10]  

所以5(3)2(1)(1+m)(3)2(1)[11]  

解得m=-2.[12]  

【突破思维障碍】  

三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等,将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是:(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等.  

  

1求值中主要有三类求值问题:  

(1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.  

(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于变角,使其角相同或具有某种关系.  

(3)给值求角:实质是转化为给值求值,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.  

2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则:  

(1)在化简求值和证明时常用如下方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,1的代换法等.  

(2)常用的拆角、拼角技巧如:2α(αβ)(αβ)α(αβ)βα(αβ)β2(α+β)2(β)2(α)2(α)4(α)的二倍角等.  

(3)化繁为简:变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低次,化多项式为单项式,化无理式为有理式.  

消除差异:消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.   

  

(满分:75)  

一、选择题(每小题5分,共25)  

1(2011·平顶山月考)已知0<α3sin 2αsin α,则cos(απ)等于             (  )  

A.3(1) B.-3(1) C.6(1) D.-6(1)  

2.已知tan(αβ)5(2)tan4(π)4(1),那么tan4(π)等于                     (  )  

A.18(13) B.22(13) C.22(3) D.6(1)  

3(2011·石家庄模拟)已知cos 2α2(1) (其中α,0(π)),则sin α的值为        (  )  

A.2(1) B.-2(1) C.2(3) D.-2(3)  

4.若f(x)2tan x2(x),则f12(π)的值为                               (  )  

A.-3(3) B8  

C4 D.-4  

5(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)ABC中,若cos 2B3cos(AC)20,则sin B的值是       (  )  

A.2(1) B.2(2) C.2(3) D1  

题号  

1  

2  

3  

4  

5  

答案  

   

   

   

   

   

二、填空题(每小题4分,共12)  

6(2010·全国)已知α为第二象限的角,且sin α5(3),则tan 2α________.  

7.函数y2cos2xsin 2x的最小值是________  

8.若4(π)=-2(2),则cos αsin α的值为________  

三、解答题(38)  

9(12)化简:(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°  

(2)3+4cos 2α+cos 4α(3-4cos 2α+cos 4α).  

   

   

   

   

10(12)(2011·南京模拟)设函数f(x)sin xcos xcos xsin+x(π)2(1).  

(1)f(x)的最小正周期;  

(2)2(π)时,求函数f(x)的最大值和最小值.  

   

   

   

   

11(14)(2010·北京)已知函数f(x)2cos 2xsin2x4cos x.  

(1)f(3(π))的值;  

(2)f(x)的最大值和最小值.  

   

   

   

   

答案  自主梳理  

1(1)2sin αcos α (2)cos2αsin2α 2cos2α 2sin2α  

(3)1-tan2α(2tan α) 2.(1)2(1)sin 2α (2)2(1-cos 2α) 2(1+cos 2α) 2cos22(α) 2sin22(α) (sin α±cos α)2  

自我检测  

1C 2.C 3.B 4.D  

课堂活动区  

1 解题导引 化简的原则是形式简单,三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.本题要充分利用倍角公式进行降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键.  

解 y74sin xcos x4cos2x4cos4x  

72sin 2x4cos2x(1cos2x)  

72sin 2x4cos2xsin2x  

72sin 2xsin22x(1sin 2x)26  

由于函数z(u1)26[1,1]中的最大值为zmax(11)2610,最小值为zmin(11)266  

故当sin 2x=-1时,y取得最大值10  

sin 2x1时,y取得最小值6.  

变式迁移1 解 (1)f(x)  

-x(π)  

+x(π)  

+2x(π)cos 2x(2cos22x)2cos 2x  

f12(11π)2cos6(11π)2cos 6(π).  

(2)g(x)cos 2xsin 2x  

sin4(π).  

x4(π)2x4(π)4()  

x8(π)时,g(x)max  

x0时,g(x)min1.  

2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值;化简后目标更明确;  

(2)如果能从已知条件中求出特殊值,应转化为特殊角,可简化运算,对切函数通常化为弦函数.  

解 sin(4(π)2α)·sin(4(π)2α)  

sin(4(π)2α)·cos(4(π)2α)  

2(1)sin(2(π)4α)2(1)cos 4α4(1)  

cos 4α2(1),又α(4(π)2(π)),故α12()  

2sin2αtan αtan α(1)1  

=-cos 2αsin αcos α(sin2α-cos2α)  

=-cos 2αsin 2α(-2cos 2α)  

=-cos6()6()2(3).  

变式迁移2 解 (1)α是第一象限角,cos α13(5)  

sin α13(12).  

cos(2α+4π)())cos 2α((sin α+cos α))  

cos2α-sin2α((sin α+cos α))  

2()13(12)=-14(2).  

(2)cos(2α4(π))cos 2αcos4(π)sin 2αsin4(π)  

2(2)(cos 2αsin 2α)  

2(π)α<2(3)π  

4()α4(π)<4(7)π.  

cos(α4(π))5(3)>0  

故可知2(3)π<α4(π)<4(7)π  

sin(α4(π))=-5(4)  

从而cos 2αsin(2α2(π))  

2sin(α4(π))cos(α4(π))  

2×(5(4))×5(3)=-25(24).  

sin 2α=-cos(2α2(π))  

12cos2(α4(π))  

12×(5(3))225(7).  

cos(2α4(π))2(2)(cos 2αsin 2α)2(2)×(25(24)25(7))  

=-50(2).  

3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明,对于三角恒等式的证明,我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同,特别是分析已知和要求的角之间的关系,再分析函数名之间的关系,则容易找到思路.证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证.对于第(2)小题同样要从角的关系入手,利用两角和的正切公式可得关系.第(3)小题则利用基本不等式求解即可.  

(1)证明 sin(2αβ)3sin β,得sin[(αβ)α]  

3sin[(αβ)α]  

sin(αβ)cos αcos(αβ)sin α3sin(αβ)cos α3cos(αβ)sin α  

sin(αβ)cos α2cos(αβ)sin α  

tan(αβ)2tan α.  

(2)解 (1)1-tan αtan β(tan α+tan β)2tan α,即1-xy(x+y)2x  

y1+2x2(x),即f(x)1+2x2(x).  

(3)解 α是一个三角形的最小内角,  

0<α3(π)0<x  

g(x)2xx(1),则g(x)2xx(1)2(当且仅当x2(2)时取)  

故函数f(x)的值域为(04(2)]  

变式迁移3 证明 因为左边=  

[sin x+(cos x-1)][sin x-(cos x-1)](2sin xcos x)  

sin2x-(cos x-1)2(2sin xcos x)  

sin2x-cos2x+2cos x-1(2sin xcos x)  

-2cos2x+2cos x(2sin xcos x)1-cos x(sin x)  

(1-cos x)(1+cos x)(sin x(1+cos x))  

sin2x(sin x(1+cos x))sin x(1+cos x)=右边.  

所以原等式成立.  

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